انواع الاحتمال

أنواع الاحتمال:

1) الاحتمال المنتظم: وهو تساوي احتمالات عناصر الظاهرة فاحتمال الحصول على أي عدد عند إلقاء حجر النرد هو 1 : 6 ويخضع للقانون:

            Number of events classifiable as A        M

P(A) =ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ=  ——

              Total number of possible events           N

             M       عدد حالات وقوع الحدث Aبالفعل                                            

P(A) =ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ =——

               كل الحالات التي يمكن وقوعها          N

2) الاحتمال الضمني أو الشخصي (Subjective Probabilities): الاحتمال الذي يعتقده شخص أما على حساب خبرته في الظاهرة محل الدراسة وهو يختلف من شخص لآخر كاحتمال ربح حصان في

     سباق للخيل.

3) الاحتمالات التكرارية النسبية (The Relative Frequency): ويتم تحديده كما يلي:

        أ) نسبة وقوع الحدث على مدى طويل مع ثبات الظروف المحيطة بالحدث.

       ب) حساب مرات وقوعه في عدد كبير من المحاولات أي:

عدد مرات ظهوره                                   

P(A) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

              عدد مرات إجراء التجربة

التعاريف الأساسية للاحتمال:

التجربة العشوائية (RANDOM SAMPLING): كل إجراء نقوم به نعلم مكوناته دون معرفة أي منها سيقع، وتعرف في علم إحصاء بالتجربة الإحصائية وهي كل عملية تعطي قياساً لظاهرة ما.

                         التجربة العشوائية بإلقاء قطعة النقود التي عناصرها المجموعة {صورة ، كتابة} وقد يقع أي منهم وتعرف الصورة والكتابة بعناصر العينة.

                         التجربة العشوائية بإلقاء حجر النرد الذي عناصره المجموعة {1، 2، 3، 4، 5، 6} وقد يقع أي منهم، وهكذا ...

 فضاء النواتج (Sample Space):

                    تعرف المجموعة {1، 2، 3، 4، 5، 6} في مثالنا السابق للتجربة العشوائية بفضاء النواتج أو قضاء الإمكانيات أو فضاء العينة (Sample Space)

                    فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة { T ، H} أو تمثل بشكل فن مستطيل أو دائرة بالداخل العناصر الخاصة بالتجربة العشوائية.

الأحداث Events :

    الحدث هو مجموعة جزئية من فضاء العينة وعدد الأحداث تخضع للصيغة 2ن حيث ن عدد عناصر فضاء العينة واحتمال وقوع الحدث A هو نسبة عدد حالات وقوعه بالفعل بالنسبة لكل الحالات الممكنة لوقوعه أي أن: P(A) = M ÷ N حيث M عدد حالات وقوع A بالفعل ، N عدد الحالات الممكنة فاحتمال ظهور عدد فردي عند إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو 0.5 لأن الأعداد الفردية ثلاثة (1، 3، 5) والتي تحقق المطلوب (عدد فردي) وكل الأعداد ستة (1، 2، 3، 4، 5، 6) فالاحتمال 3 ÷ 6 = 0.5 ، الشكل المقابل لحجر النرد أو الزار أو الزهرة

الحدث البسيط ( Simple event ): وهو الحدث المكون من عنصر واحد مثل {1} في تجربة إلقاء حجر النرد.

الحدث المركب ( Compound event ): الحدث المكون من أكثر من عنصر مثل {2، 4، 6} حدث العدد زوجي في تجربة إلقاء حجر النرد.

الحدث المستحيل: الحدث الذي لا يحوي أي عنصر كحدث ظهور العدد 7 في تجربة إلقاء حجر النرد.

الحدث المؤكد: الحدث الذي يضم كافة عناصر الفضاء كحدث ظهور عدد أقل من 7 في تجربة إلقاء حجر النرد.

الحدثان المتنافيان ( Mutually Exclusive events ): الحدثان اللذان لا يشتركا في أي عنصر وتقاطعهم المجموعة الخالية أي A ∩ B = f مثل {2}، {3}، وتعرف بالأحداث غير المتصلة.

الأحداث المنتظمة (dependent events): المتساوية في احتمالاتها. ففي تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة يكون: P(1) = P(2) = P(3) =P(4) = P(5) = P(6) = 1:6

الأحداث الشاملة ( Exhaustive events ): إذا كان Sفضاء عينة ما فإن الأحداث A, B, C شاملة إذا تحققالشروط الثلاثة الآتية:

                                1) متنافية فيما بينها أي:  A ∩ B = fو  A ∩ C = f و  C ∩ B = f

                                2) أياً منها ليست خالية أي  A ≠ f  B ≠ f و   C ≠ f

                                3) إتحادها يساوي S أي A υ B υ

الأحداث المكملة (Complementary events): الحدثان اللذان اتحادهم يساوي فضاء العينة بمعنى Aحدث فإنA`الحدث المكمل حيث A υ` =

الحدثان المستقلان ( Independent events ): اللذان لا يتأثر أي منهم بالآخر (وقع أحدهم لا يؤثر أو يتأثر بوقوع أو عدم وقوع الآخر).

P(A ∩ B) = P(B) × P(A) قاعدة الضرب للاحتمالات للإحداث المستقلة

يمكن تعميم هذه القاعدة لأكثر من حدثين

P(A ∩ B ∩ C ∩ ... ∩ Z)  P(A) × P(B) × P(C)×... ×P(Z)

الأحداث الغير مستقلة (المشروطة) Conditional Probability:

    حدثان وقوع أحدهما يؤثر في وقوع الآخر مثل سحب ورقة من أوراق اللعب دون إرجاع مما يؤدي لتأثير سحب ورقة جديدة لنقص الفرصة بنقص عدد الأوراق (من 52  إلى 51)

    فالحدثان A, B نكتب حدث وقوع A بشرط وقوع Bبالصورة A / B ويكون:

                  P(A ∩ B)

                P(A / B) = ـــــــــــــــــــــــــ , P(B) ¹ 0

                P(B)

OR

P(A ∩ B) = P(B) × P(A / B)

لاحظ أن العلامة / ليست علامة القسمة بل علامة شرط وقوع ما يليها من أحداث

P(A / B)s  وهو احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B ، قد ترد عبارة أخرى تفيد الشرط كالقول علماً بأن ,...

وفي حالة الحدثان مستقلان أي لا يؤثر وقوع أحدهما على الآخر ( when A and B are independent events) يصبح القانون:

P(A ∩ B) = P(B) × P(A)